Знакочередующиеся и знакопеременные ряды и их сходимость. Примеры

Знакочередующимися рядами называются ряды, члены которых попеременно то положительны, то отрицательны . Чаще всего рассматриваются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через один: за каждым положительным следует отрицательный, за каждым отрицательным - положительный. Но встречаются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через два, три и так далее.

Рассмотрим пример знакочередующегося ряда, начало которого выглядит так:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

и сразу же общие правила записи знакочередующихся рядов.

Как и в случае любых рядов, для продолжения данного ряда нужно задать функцию, определяющую общий член ряда. В нашем случае это n + 2 .

А как задать чередование знаков членов ряда? Умножением функции на минус единицу в некоторой степени. В какой степени? Сразу же подчеркнём, что не любая степень обеспечивает чередование знаков при членах ряда.

Допустим, мы хотим, чтобы первый член знакочередующегося ряда был с положительным знаком, как это и имеет место в приведённом выше примере. Тогда минус единица должна быть в степени n − 1 . Начните подставлять в это выражение числа начиная с единицы и вы получите в качестве показателя степени при минус единице то чётное, то нечётное число. Это и есть необходимое условие чередования знаков! Такой же результат получим при n + 1 . Если же мы хотим, чтобы первый член знакочередующегося ряда был с отрицательным знаком, то можем задать этот ряд умножением функции общего члена на единицу в степени n . Получим то чётное, то нечётное число и так далее. Как видим, уже описанное условие чередования знаков выполнено.

Таким образом, можем записать приведённый выше знакочередующийся ряд в общем виде:

Для чередования знаков члена ряда степень минус единицы может быть суммой n и любого положительного или отрицательного, чётного или нечётного числа. То же самое относится к 3n , 5n , ... То есть, чередование знаков членов знакочередующегося ряда обеспечивает степень при минус единицы в виде суммы n , умноженного на любое нечётное число и любого числа.

Какие степени при минус единице не обеспечивают чередование знаков членов ряда? Те, которые присутствуют в виде n , умноженного на любое чётное число, к которому прибавлено любое число, включая нуль, чётное или нечётное. Примеры показателей таких степеней: 2n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n + 3 ... В случае таких степеней в зависимости от того, с каким числом складывается "эн", умноженное на чётное число, получаются или только чётные, или только нечётные числа, что, как мы уже выяснили, не даёт чередования знаков членов ряда.

Знакочередующиеся ряды - частный случай знакопеременных рядов . Знакопеременные ряды - это ряды с членами произвольных знаков , то есть такими, которые могут быть положительными и отрицательными в любой последовательности. Пример знакопеременного ряда:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Далее рассмотрим признаки сходимости знакочередующихся и знакопеременных рядов. Условную сходимость знакочередующихся рядов можно установить при помощи признака Лейбница. А для более широкого круга рядов - знакопеременных (в том числе и знакочередующихся) - действует признак абсолютной сходимости.

Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости – признак Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, если одновременно выполняются следующие два условия:

• абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают: u 1 > u 2 > u 3 > ... > u n > ... ;
• предел его общего члена при неограниченном возрастании n равен нулю.

Следствие. Если за сумму знакочередующегося ряда принять сумму его n членов, то допущенная при этом погрешность не превзойдёт абсолютной величины первого отброшенного члена.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Абсолютные величины его членов убывают:

а предел общего члена

равен нулю:

Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ряд сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Сначала докажем, что :

, .

Если N = 1 , то для всех n > N выполняется неравенство 12n − 7 > n . В свою очередь для каждого n . Поэтому , то есть члены ряда по абсолютному значению убывают. Найдём предел общего члена ряда (применяя правило Лопиталя ):

Предел общего члена равен нулю. Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ответ на вопрос о сходимости - положительный.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Дан знакочередующийся ряд. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница, то есть требование . Чтобы требование выполнялось, необходимо, чтобы

Мы убедились, что требование выполняется для всех n > 0 . Первый признак Лейбница выполняется. Найдём предел общего члена ряда:

.

Предел не равен нулю. Таким образом, второе условие признака Лейбница не выполняется, поэтому о сходимости не может быть и речи.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение. В данном ряде за двумя отрицательными членами следуют два положительных. Данный ряд - также знакочередующийся. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница.

Требование выполняется для всех n > 1 . Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена (применяя правило Лопиталя):

.

Получили нуль. Таким образом, оба условия признака Лейбница выполняются. Сходимость имеет место быть.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница. Так как

,

Так как n ≥ 0 , то 3n + 2 > 0 . В свою очередь, для каждого n , поэтому . Следовательно, члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена ряда (применяя правило Лопиталя):

.

Получили нулевое значение. Оба условия признака Лейбница выполняются, поэтому данный ряд сходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница для этого знакочередующегося ряда:

Члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена:

.

Предел общего члена не равен нулю. Второе условие признака Лейбница не выполняется. Следовательно, данный ряд расходится.

Признак Лейбница является признаком условной сходимости ряда . Значит, выводы о сходимости и расходимости рассмотренных выше знакочередующихся рядов можно дополнить: эти ряды сходятся (или расходятся) условно.

Абсолютная сходимость знакопеременных рядов

Пусть ряд

– знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величины его членов:

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов . Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то такой знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся .

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно.

Пример 7. Установить, сходится ли ряд

Решение. Соответствующим данному ряду рядом с положительными членами является ряд Это обобщённый гармонический ряд , в котором , поэтому ряд расходится. Проверим соблюдение условий признака Лейбница.

Напишем абсолютные значения первых пяти членов ряда:

.

Как видим, члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена:

Получили нулевое значение. Оба условия признака Лейбница выполняются. То есть по признаку Лейбница сходимость имеет место быть. А соответствующий ряд с положительными членами расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.

Пример 8. Установить, сходится ли ряд

абсолютно, условно, или расходится.

Решение. Соответствующим данному ряду рядом с положительными членами является ряд Это обобщённый гармонический ряд, в котором , поэтому ряд расходится. Проверим соблюдение условий признака Лейбница.

Ряд

Пусть задан ряд ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} и α = lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n | n {\displaystyle \alpha =\varlimsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}} . Тогда

Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n + 1 a n | {\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|} и α {\displaystyle \alpha } соответственно), о расходимости - из того, что общий член ряда не стремится к нулю.

Признак Коши сильнее признака Даламбера в том смысле, что если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов; существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.

Интегральный признак Коши - Маклорена

Пусть задан ряд ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},a_{n}\geqslant 0} и функция f (x) : R → R {\displaystyle f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R} } такая, что:

Тогда ряд ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} и интеграл ∫ 1 ∞ f (x) d x {\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx} сходятся или расходятся одновременно, причем ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n {\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _{n=k}^{\infty }a_{n}\geqslant \int \limits _{k}^{\infty }f(x)dx\geqslant \sum _{n=k+1}^{\infty }a_{n}}

Признак Раабе

Пусть задан ряд ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} , a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} и R n = n (a n a n + 1 − 1) {\displaystyle R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)} .

Признак Раабе основан на сравнении с обобщенным гармоническим рядом

Действия над рядами

Примеры

Рассмотрим ряд 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+...} . Для этого ряда:

Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Рассмотрим ряд ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n-(-1)^{n}}}

Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Ряд ∑ n = 1 ∞ 1 n α {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}} сходится при α > 1 {\displaystyle \alpha >1} и расходится при α ⩽ 1 {\displaystyle \alpha \leqslant 1} , однако:

Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.

Ряд ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}} сходится условно по признаку Лейбница , но не абсолютно, так как гармонический ряд ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}} расходится.

, неограничена в левой окрестности точки b {\displaystyle b} . Несобственный интеграл второго рода ∫ a b f (x) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx} называется абсолютно сходящимся , если сходится интеграл ∫ a b | f (x) | d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx} .

Теперь мы перейдем к изучению рядов, члены которых являются вещественными числами любого знака.

Определение 1. Будем называть ряд

абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Заметим, что в этом определении ничего не сказано о том, предполагается ли при этом сходимость самого ряда (1.49). Оказывается, такое предположение оказалось бы излишним, ибо справедлива следующая теорема.

Теорема 1.9. Из сходимости ряда (1.50) вытекает сходимость ряда (1.49).

Доказательство. Воспользуемся критерием Коши для ряда (т. е. теоремой 1.1). Требуется доказать, что для любого найдется номер такой, что для всех номеров удовлетворяющих условию и для любого натурального справедливо неравенство

Фиксируем любое . Так как ряд (1.50) сходится, то в силу теоремы 1.1 найдется номер такой, что для всех номеров удовлетворяющих условию и для любого натурального справедливо неравенство

Так как модуль суммы нескольких слагаемых не превосходит суммы их модулей, то

Сопоставляя неравенства (1.52) и (1.53), получим неравенства (1.51). Теорема доказана.

Определение 2. Ряд (1.49) называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, в то время как соответствующий ряд из модулей (1.50) расходится.

Примером абсолютно сходящегося ряда может служить ряд.

Этот ряд сходится абсолютно, ибо при сходится ряд (1.33).

Приведем пример условно сходящегося ряда. Докажем условную сходимость ряда

Так как соответствующий ряд из модулей (гармонический ряд), как мы уже знаем, расходится, то для доказательства условной сходимости ряда (1.54) достаточно доказать, что этот ряд сходится. Докажем, что ряд (1.54) сходится к числу . В п. 2 § 9 гл. 6 ч. 1 мы получили разложение по формуле Маклорена функции

Там же для всех х из сегмента получена следующая оценка остаточного члена.

с (вообще говоря) комплексными членами, для к-рого сходится ряд

Для абсолютной сходимости ряда (1) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости ряда), чтобы для любого существовал такой номер , что для всех номеров и всех целых выполнялось

Если ряд абсолютно сходится, то он сходится. Ряд

абсолютно сходится а ряд

сходится, но не абсолютно. Пусть

Ряд, составленный из тех же членов, что и ряд (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Из абсолютной сходимости ряда (1) следует и абсолютная ряда (3), и ряд(З) имеет ту же самую сумму, что и ряд (1). Если ряды

абсолютно сходятся, то: любая их линейная комбинация

также абсолютно сходится; ряд, полученный из всевозможных попарных произведений членов этих рядов, расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм данных рядов. Перечисленные свойства абсолютно сходящихся рядов переносятся и на кратные ряды

абсолютно сходится, т. е. абсолютно сходятся все ряды, получающиеся последовательным суммированием членов ряда (4) по индексам причем суммы кратного ряда (4) и повторного (5) равны и совпадают с суммой любого однократного ряда, образованного из всех членов ряда (4).

Если члены ряда (1) суть элементы нек-рого банахова пространства с нормой элементов то ряд (1) наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд

На случай А. с. р. элементов банахова пространства также обобщаются рассмотренные выше свойства абсолютно сходящихся числовых рядов, в частности А. с. р. элементов банахова пространства сходится в этом пространстве. Аналогичным образом понятие А. с. р. переносится и на кратные ряды в банаховом пространстве.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ РЯД" в других словарях:

Функциональный ряд (1) с (вообще говоря) комплексными членами, сходящийся на множестве X, и такой, что для любого e>0 существует номер ne , что для всех n>ne и всех выполняется неравенство где и Иными словами, последовательность частичных… … Математическая энциклопедия

Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… … Математическая энциклопедия

Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… …

I бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей… … Большая советская энциклопедия

Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае это N я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых. Функциональный ряд … Википедия

S кратный ряд, выражение вида составленное из членов таблицы Каждый член этой таблицы занумерован индексами т, п, . . . , р, к рые пробегают независимо друг от друга все натуральные числа. Теория К. р. аналогична теории двойных рядов. См. также… … Математическая энциклопедия

Ряд по косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида или в комплексной форме где ak, bk или, соответственно, ck наз. коэффициентами Т. р. Впервые Т. р. встречаются у Л. Эйлера (L. Euler, 1744). Он получил разложения В сер. 18 в. в связи с… … Математическая энциклопедия

Ряд где функции, голоморфные в нек рой не зависящей от kобласти Если для всех, то ряд (*) наз. рядом Гартогса. Всякая функция, голоморфная в Гартогса области D вида разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся внутри DГ. Л. р. В полных… … Математическая энциклопедия

Пример 2.

Исследовать, сходится ли ряд .

Поскольку

То ряд сходится.

Интегральный признак сходимости

Интегральный признак сходимости выражается следующей теоремой

Теорема 1.8.

Дан ряд с положительными членами

Если при функция непрерывна, положительна и не возрастает, а в точках принимает значения , то ряд (1.23) и несобственный интеграл (1.24) одновременно сходятся или расходятся.

Доказательство.

Если , то , откуда

;

Если интеграл (1.24) сходится и , то при любом натуральном . Следовательно,

.

Так как монотонно возрастающая и ограниченная последовательность, то существует , т.е. ряд (1.23) также сходится. Если ряд (1.23) сходится и , то при любом .

Из равенства (1.26) следует, что при любом . Несобственный интеграл также сходится.

С помощью интегрального признака можно доказать, что ряд

(1.27)

где любое вещественное число, сходится при и расходится при .

Действительно, сходится при и расходится при .

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые два члена с номерами и имеют противоположные знаки, т.е. ряд вида

(1.30)

Доказательство.

Рассмотрим частичные суммы ряда (1.28) с четными и нечетными номерами:

Преобразуем первую из этих сумм:

В силу условия (1.29) разность в каждой скобке положительна, поэтому сумма и для всех . Итак, последовательность четных частичных сумм является монотонно возрастающей и ограниченной. Она имеет предел, который обозначим через , т.е. . Поскольку , то, принимая во внимание предыдущее равенство и условие (1.30), получаем

Итак, последовательность частичных сумм данного ряда соответственно с четными и нечетными номерами имеют один и тот же предел . Отсюда следует, что последовательность всех частичных сумм ряда имеет предел ; т.е. ряд сходится.

Пример.

Исследовать, сходится ли ряд

(1.31)

Этот ряд является знакочередующимся. Он сходится, поскольку удовлетворяет условиям теоремы

Оценка остатка знакочередующегося ряда определяется с помощью следующей теоремы.

Теорема 1.10.

Сумма остатка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак первого оставшегося члена и не превосходит его по модулю.

Доказательство.

Рассмотрим остаток ряда (1.28) после членов. Пусть его сумма, -я частичная сумма, тогда

Так как выполнены условия теоремы 1.9, то и при всех , т.е. , откуда

или

Аналогично доказывается, что сумма остатка ряда после членов удовлетворяет условиям , т.е. и .

Следовательно, независимо от четности или нечетности

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда:

(1.34)

Теорема 1.11.

Если ряд (1.34) сходится, то сходится и ряд (1.33).

Доказательство.

Поскольку ряд (1.34) сходится, то в силу критерия Коши (теорема 1.1) для любого существует такой номер , то при всех и любом целом выполняется неравенство

.

То . Это означает, что ряд (1.33) также сходится.

Замечание.

Из сходимости ряда (1.33) не следует сходимость ряда (1.34). Например, ряд сходится (см. п. 1.6), а ряд из модулей его членов расходится (гармонический ряд, см. п. 1.2).

абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его членов. Например, ряд

является абсолютно сходящимся, поскольку сходится ряд из модулей его членов, т.е. ряд (геометрическая прогрессия со знаменателем , ).

Знакопеременный ряд называется неабсолютно сходящимся (условно сходящимся), если он сходится, а ряд из модулей его членов расходится. Например, ряд является неабсолютно сходящимся (см. замечание).

Действия над рядами.

Произведением ряда

Теорема 1.12.

Если ряд (1.35) сходится, то ряд (1.36) также сходится, причем

(1.37)

Доказательство.

Обозначим через и - е частичные суммы рядов (1.35) и (1.36), т.е.

Очевидно, . Если ряд (1.35) сходится и его сумма равна , т.е. , , то

Кроме ряда (1.35) рассмотрим ряд

также сходится абсолютно и его сумма равна

Замечание.

Правила действия над рядами не всегда совпадают с правилами действий над конечными суммами. В частности, в конечных суммах можно произвольно менять порядок слагаемых, как угодно группировать члены, сумма от этого не изменится. Слагаемые конечной суммы можно складывать в обратном порядке, для ряда такой возможности нет, ибо у него не существует последнего члена.

В ряде не всегда можно группировать члены. Например, ряд

является расходящимся, так как

и нет предела его частичных сумм. После группировки членов

получаем сходящийся ряд, его сумма равна нулю. При другой группировке членов

получаем сходящийся ряд, сумма которого равна единице.

Приведем без доказательства две теоремы.

Теорема 1.14.

Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда не нарушает его сходимости, сумма ряда при этом остается прежней.

Теорема 1.15.

Если ряд сходится неабсолютно, то путём надлежащей перестановки его членов всегда можно придать сумме ряда произвольное значение и даже сделать ряд расходящимся.