Главная › Тесты › Шаблоны многогранников из бумаги. Как сделать объемные геометрические фигуры из бумаги (схемы, шаблоны)? Ещё один способ изготовления многогранников

Шаблоны многогранников из бумаги. Как сделать объемные геометрические фигуры из бумаги (схемы, шаблоны)? Ещё один способ изготовления многогранников

Бумажные поделки - это не только различные открытки и аппликации, выполненные в виде плоских изделий. Очень оригинальными получаются объемные модели фигур (фото 1). Например, можно сконструировать Рассмотрим некоторые способы его выполнения, используя схемы и фотографии.

История фигур

Древняя математическая наука уходит своими корнями в далекое прошлое, во времена процветания Древнего Рима и Греции. Тогда было принято связывать технические аспекты с философскими. Поэтому, согласно учению Платона (один из древнегреческих мыслителей), каждый из многогранников, состоящих из определенного количества одинаковых плоскостей, символизирует одну стихию. Фигуры из треугольников - октаэдр, икосаэдр и тетраэдр - ассоциируются с воздухом, водой и огнем соответственно и могут преобразовываться друг в друга благодаря однотипности граней, каждая из которых имеет три вершины. Землю же символизирует гексаэдр из квадратов. А додекаэдр, благодаря особенным пятиугольным граням, выполняет декоративную роль и является прототипом гармонии и мира.

Также известно, что один из греческих математиков, Евклид, доказал в своем учении «Начала» неповторимость упомянутых платоновых тел и их свойство «вписываться» в сферу (фото 2). Сделан показанный из бумаги многогранник путем сворачивания сомкнутых между собой двадцати равнобедренных треугольников. Схема наглядно демонстрирует выкройку для изготовления фигуры. Рассмотрим подробнее все этапы работы по созданию икосаэдра.

Делаем двадцатигранник

Икосаэдр состоит из одинаковых по размеру равнобедренных треугольников. Его можно легко сложить, используя представленную на рисунке 2 развертку. Возьмите прямоугольный лист бумаги. Начертите на нем двадцать одинаковых по размеру и форме треугольников, расположив их в четырех рядах. При этом каждая грань одного будет одновременно являться стороной другого. Полученный шаблон используйте для изготовления заготовки. Она будет отличаться от основы-развертки наличием припусков для склеивания по всем внешним линиям. Вырезав из бумаги заготовку, согните ее по линиям. Формируя из бумаги многогранник, замыкайте крайние ряды между собой. При этом вершины треугольников соединятся в одну точку.

Правильные многогранники

Все фигуры отличаются друг от друга различным количеством граней и их формой. Кроме этого, некоторые модели могут быть сложены из цельного листа (как описано в примере изготовления икосаэдра), другие - только путем сбора из нескольких модулей. Классическими считаются правильные многогранники. Из бумаги их делают, придерживаясь главного правила симметрии - наличия в шаблоне полностью одинаковых граней. Существует пять основных видов таких фигур. В таблице приведены сведения об их названиях, количестве и формах граней:

Разнообразие фигур

Как сделать из бумаги многогранник с двенадцатью вершинами: первый способ

Такую фигуру еще называют звездчатым додекаэдром. Каждая из его вершин в своем основании является Поэтому делают двумя способами такие многогранники из бумаги. Схемы для изготовления будут несколько отличаться друг от друга. В первом случае это единая деталь (фото 4), в результате сворачивания которой получается готовое изделие. Кроме основных граней, на чертеже присутствуют соединительные части для склеивания, благодаря которым фигура смыкается в единое целое. Для изготовления многогранника вторым способом нужно сделать отдельно несколько шаблонов. Рассмотрим процесс работы подробнее.

Как сделать многогранник из бумаги: второй способ

Изготовьте два главных шаблона (фото 5):

- Первый. Нарисуйте на листе окружность и поделите ее поперек на две части. Одна будет основой для выкройки, дугу второй сразу сотрите для удобства. Поделите деталь на пять равных частей и ограничьте все радиусы поперечными отрезками. В результате получатся соединенные вместе пять одинаковых равнобедренных треугольников. Изобразите рядом примыкающую к среднему отрезку точно такую же полуокружность, только в зеркальном отражении. Полученная деталь при сворачивании выглядит как два конуса. Изготовьте таких аналогичных шаблонов всего шесть штук. Для их склеивания используется вторая деталь, которая будет помещаться вовнутрь.

- Второй. Этот шаблон - пятиконечная звезда. Выполните одинаковые двенадцать заготовок. Формируя многогранник, каждую из звезд с подогнутыми вверх концами помещают внутрь конусообразных деталей и приклеивают к граням.

Полный сбор фигуры получается путем соединения двойных блоков дополнительными отрезками бумаги, заводя их вовнутрь. Моделируя изделия, довольно проблематично сделать их разными по размеру. Готовые модели многогранников из бумаги не так-то просто увеличить. Для этого недостаточно просто сделать припуски по всем внешним границам. Нужно масштабировать отдельно каждую из граней. Только так возможно получить увеличенную копию первоначальной модели. Используя второй способ изготовления многогранника, сделать это намного проще, так как будет достаточно увеличить первоначальные заготовки, по которым уже выполняется нужное количество отдельных деталей.

МОУ Можаров – Майданская СШ

Учебно-исследовательская работа

на тему

«Необычные многогранники

из бумаги»

Выполнил:

ученик 9 класса Колбасов А.В.

Руководитель:

учитель математики Погодина А.А.

Актуальность выбранной темы:

Увидел необычные многогранники из бумаги в стиле оригами и решил сделать некоторые из них своими руками.

Цель:

развитие познавательного интереса к необычным формам многогранников.

заинтересовать окружающих такими необычными многогранниками.

Задачи:

изучить историю многогранников;

изучить материал по изготовлению многогранников из бумаги в стиле оригами;

доказать себе, что я могу это сделать;

показать другим как это делать.

История фигур

Правильные многогранники

Все фигуры отличаются друг от друга различным количеством граней и их формой. Кроме этого, некоторые модели могут быть сложены из цельного листа (как описано в примере изготовления икосаэдра), другие – только путем сбора из нескольких модулей. Классическими считаются правильные многогранники. Из бумаги их делают, придерживаясь главного правила симметрии – наличия в шаблоне полностью одинаковых граней. Существует пять основных видов таких фигур. В таблице приведены сведения об их названиях, количестве и формах граней:

Бумажные поделки – это не только различные открытки и аппликации, выполненные в виде плоских изделий. Очень оригинальными получаются объемные модели фигур (фото 1). Например, можно сконструировать из бумаги многогранник. Рассмотрим некоторые способы его выполнения, используя схемы и фотографии.

Сделан показанный из бумаги многогранник путем сворачивания сомкнутых между собой двадцати равнобедренных треугольников. Схема наглядно демонстрирует выкройку для изготовления фигуры. Рассмотрим подробнее все этапы работы по созданию икосаэдра. Делаем двадцатигранник Икосаэдр состоит из одинаковых по размеру равнобедренных треугольников. Его можно легко сложить, используя представленную на рисунке 2 развертку. Возьмите прямоугольный лист бумаги. Начертите на нем двадцать одинаковых по размеру и форме треугольников, расположив их в четырех рядах. При этом каждая грань одного будет одновременно являться стороной другого. Полученный шаблон используйте для изготовления заготовки. Она будет отличаться от основы-развертки наличием припусков для склеивания по всем внешним линиям. Вырезав из бумаги заготовку, согните ее по линиям. Формируя из бумаги многогранник, замыкайте крайние ряды между собой. При этом вершины треугольников соединятся в одну точку.

Разнообразие фигур

На основе пяти приведенных видов, используя умение и фантазию, умельцы легко конструируют множество различных моделей из бумаги. Многогранник может совершенно отличаться от вышеописанных пяти фигур, формируясь одновременно из различных по форме граней, например из квадратов и треугольников. Так получаются архимедовы тела. А если одну или несколько граней пропустить, то получится открытая фигура, просматриваемая как снаружи, так и внутри. Для изготовления объемных моделей используются специальные выкройки, вырезаемые из достаточно плотной, хорошо держащей форму, бумаги. Делают и особенные многогранники из бумаги. Схемы таких изделий предусматривают наличие дополнительных, выступающих модулей. Разберем способы, как сконструировать очень красивую фигуру на примере додекаэдра (фото 3). Как сделать из бумаги многогранник с двенадцатью вершинами: первый способ Такую фигуру еще называют звездчатым додекаэдром. Каждая из его вершин в своем основании является правильным пятиугольником. Поэтому делают двумя способами такие многогранники из бумаги. Схемы для изготовления будут несколько отличаться друг от друга. В первом случае это единая деталь (фото 3),

в результате сворачивания которой получается готовое изделие. Кроме основных граней, на чертеже присутствуют соединительные части для склеивания, благодаря которым фигура смыкается в единое целое. Для изготовления многогранника вторым способом нужно сделать отдельно несколько шаблонов. Рассмотрим процесс работы подробнее. Как сделать многогранник из бумаги: второй способ Изготовьте два главных шаблона

Первый. Нарисуйте на листе окружность и поделите ее поперек на две части. Одна будет основой для выкройки, дугу второй сразу сотрите для удобства. Поделите деталь на пять равных частей и ограничьте все радиусы поперечными отрезками. В результате получатся соединенные вместе пять одинаковых равнобедренных треугольников. Изобразите рядом примыкающую к среднему отрезку точно такую же полуокружность, только в зеркальном отражении. Полученная деталь при сворачивании выглядит как два конуса. Изготовьте таких аналогичных шаблонов всего шесть штук. Для их склеивания используется вторая деталь, которая будет помещаться вовнутрь.

Второй. Этот шаблон – пятиконечная звезда. Выполните одинаковые двенадцать заготовок. Формируя многогранник, каждую из звезд с подогнутыми вверх концами помещают внутрь конусообразных деталей и приклеивают к граням. Полный сбор фигуры получается путем соединения двойных блоков дополнительными отрезками бумаги, заводя их вовнутрь. Моделируя изделия, довольно проблематично сделать их разными по размеру. Готовые модели многогранников из бумаги не так-то просто увеличить. Для этого недостаточно просто сделать припуски по всем внешним границам. Нужно масштабировать отдельно каждую из граней. Только так возможно получить увеличенную копию первоначальной модели. Используя второй способ изготовления многогранника, сделать это намного проще, так как будет достаточно увеличить первоначальные заготовки, по которым уже выполняется нужное количество отдельных деталей.

Додекаэдр в технике оригами

Модуль оригами - отличная основа для додекаэдра. Понадобится 30 прямоугольных или квадратных листов бумаги. Каждый из листочков складывается пополам, затем каждую половинку нужно отогнуть в противоположную сторону - получится "гармошка" в четыре сложения. Иногда, если лист не квадратный, делают "гармошку" в три сложения. В итоге у вас в руках узкая промоугольная полоска. Затем с каждой стороны прямоугольника по узкой стороне нужно отогнуть уголок. Уголки складываются в одну сторону - это будущие крепления, которые будут заправляться в "гармошку". Затем согните модуль вовнутрь наискосок по диагонали от маленьких боковых уголков. Таким образом, один модуль для оригами додекаэдра - трехмерный, он включает два ребра будущей фигуры и уголки. Когда все модули готовы, можно начинать сборку.

Сборка начинается с одного узла, для которого необходимо взять три модуля. На рисунке ниже это голубой, розовый и желтый модули оригами. Схемы сборки достаточно просты, и с такими фигурами легко справляются даже начинающие (36 заготовок).

Какие поделки можно сделать на основе додекаэдра?

Каждая сторона додекаэдра из бумаги - это плоский пятиугольник, который сам по себе может являться основой для самых разных и причудливых форм. Например, на фото ниже пятиугольник заменен пятиконечнй звездой.

Ребра в такой фигуре отсутствуют, хотя предполагаются. Как сделать додекаэдр из бумаги в виде звезды? Замените в развертке, представленной выше, каждый пятиугольник необходимой пятиконечной фигурой и соедините их не по ребрам, а по вершинам. На этом фото представлен звездчатый додекаэдр. В основе каждого "луча" лежит все тот же пятиугольник. Вместо пятиугольных пирамид может быть выполнена любая объемная фигура.

Многогранник из тетраэдров.

Делаем 30 модулей(заготовок)

Вывод: Изготовление необычных многогранников из бумаги в стиле оригами развивает пространственное воображение, улучшает моторику пальцев рук, делает человека более целеустремлённым и трудолюбивым.

Для изготовления объемных геометрических фигур главное иметь шаблоны, которые можно вырезать, а затем склеить.

Можно сделать из белой или из цветной бумаги. Можно вырезать из бумаги с каким-либо рисунками или же цифрами.

Предлагаю сделать не совсем обычную объемную фигуру в технике оригами. Смотрим видео:

Чтобы дети лучше запомнили, какие бывают геометрические фигуры, и знали, как они называются, можно из плотной бумаги или картона сделать объемные геометрические фигуры . Кстати, на основе их можно изготовить красивую подарочную упаковку.

Понадобятся:

плотная бумага, либо картон (лучше цветные);
линейка;
карандаш;
ножницы;
клей (лучше ПВА).

Самое сложное - это разработать и начертить развртки, нужны хотя бы базовые знания черчения. Можно взять и готовые развртки и распечатать на принтере.

Чтобы линия сгиба была ровной и острой, можно воспользоваться тупой иглой и металлической линейкой. При проведении линии иголку нужно сильно нагнуть в направлении движения, практически положив е набок.

Это развертка трехгранной пирамиды

Это развертка куба

Это развертка октаэдра (четырехгранной пирамиды)

Это развертка додекаэдра

Это развертка икосаэдра

Вот здесь можно найти шаблоны более сложных фигур (Платоновы Тела, Архимедовы тела, многогранники, полиэдры, разные виды пирамид и призм, простые и косые бумажные модели).

Объемные геометрические фигуры являются лучшим способом изучение малышом окружающего мира. Отличный учебный материал/отличное учебное пособие для в изучении геометрических фигур - это, как раз, объемные фигуры. Таким способом лучше запоминаются геометрические фигуры.

Лучши материал для изготовления подобных объемных фигур - это плотная бумага (можно цветную) или же картон.

Для изготовления понадобятся кроме бумаги еще и карандаш с линейкой, а также ножницы и клей (вырезать и клеить развертки).

Нужно начертить подобным образом развертки и вырезать их:

После чего их нужно склеивать край к краю.

Должны получится следующего вида объемные геометрические фигуры:

Вот несколько схем, по которым можно изготовить объмные геометрические фигуры.

Самая простая - тетраэдр .

Чуть сложнее будет изготовить октаэдр .

А вот эта объмная фигура - додекаэдр .

Ещ одна - икосаэдр .

Более подробно об изготовлении объмных фигур можно посмотреть здесь.

Вот так выглядят объмные фигуры не в собранном виде:

А вот так выглядят уже готовые:

Из объмных геометрических фигур можно сделать много оригинальных поделок, в том числе и упаковки для подарка.

Прежде чем начать делать объемные геометрические фигуры, нужно представить (или знать как выглядит) фигуру в 3D измерении: сколько граней имеет та или иная фигура.

Сначала необходимо правильно начертить на бумаге фигуру по граням, которые должны быть соединены между собой. У каждой фигуры грани имеют определенную форму: квадрат, треугольник, прямоугольник, ромб, шестиугольник, круг и т.д.

Очень важно, чтобы длина ребер фигуры, которые будут соединены друг с другом имели одинаковую длину, чтобы во время соединения не возникло проблем. Если фигура состоит из одинаковых граней, я бы предложила сделать шаблон во время черчения использовать этот шаблон. Так же можно скачать из интернета готовые шаблоны, распечатать их, согнуть по линиям и соединить (склеить).

Шаблон конуса:

Шаблон пирамиды:

Изготовление объемных геометрических фигур вам понадобится как на школьных занятиях, так и для изучения фигур с малышами. Этот процесс можно превратить в игру, делая из картона плотные объемные геометрические фигуры.

Для изготовления фигур нам понадобится - карандаш, линейка, цветной картон, клей.

Можно распечатать схемы из интернета, потом нанести их на плотную бумагу, не забывая про линии сгиба, которые будут склеиваться между собой.

А воспользоваться можно следующими схемами:

А вот они уже в готовом виде.

Так вы весело и с пользой сможете провести с малышом время, изучая геометрические фигуры.

Самостоятельно смастерив из бумаги объмные фигуры можно не только использовать их для развлечения, но и для обучения.

К примеру, можно наглядно показать ребнку как выглядит та или иная фигура, дать е подержать в руках.

Либо можно с целью обучения распечатать схемы со специальными обозначениями.

Так предлагаю ниже ознакомиться со семой додекаэдра , как простой, так и с небольшими рисунками, которые только привлекут внимание малыша и обучение сделают более веслым и занимательным.

Также схему куба можно использовать для обучения цифрам.

Схема пирамиды может помочь усвоить формулы, которые относятся к данной фигуре.

Кроме того, предлагаю ознакомиться со схемой октаэдра .

Схема тетраэдра помимо прочего поможет изучить цвета.

Как вы поняли, вышеприведнные шаблоны необходимо распечатать, вырезать, согнуть по линиям, склеить по специальным узким полосочкам, прилегающим к избранным сторонам.

Объемные геометрические фигуры просто необходимы при обучении: они предоставляют ученикам возможность держать их в руках, рассматривать, что является важной частью учебного процесса, они просто необходимы в качестве пособия при изучении знаменитой теоремы Эйлера - наглядно демонстрируя, что даже при деформациях, искривлениях число граней многогранника, а значит и соотношение Эйлера, останется неизменным:

Кроме того, объемные фигуры могут служить отличным пособием, помогающим объяснить ученикам, как найти площадь поверхности многогранника.

Итак, с помощью приведенных ниже шаблонов Вы можете легко сделать следующие фигуры:

Треугольная Призма

N-угольная призма

Тетраэдр

Икосаэдр

И еще несколько редких объемных геометрических фигур можно найти по этой ссылке.

3.1 «Рождение» великого физика Д.К.Максвелла

Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс, увлекшись изготовлением моделей многогранников, написал в письме к отцу: «… я сделал тетраэдр, додекаэдр и ещё два эдра, для которых не знаю правильного названия». Эти слова ознаменовали рождение в пока ничем не примечательном мальчике великого физика Джеймса Кларка Максвелла (Приложение 3). Думаю, что и вас, и ваших родных увлечёт изготовление моделей геометрических тел.

Кроме традиционных ёлочных украшений (хлопушек и фонариков) можно изготовить геометрические игрушки. Это модели правильных многогранников, сделанные из цветной бумаги. Ведь их форма – это образец совершенства! Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочётов. И если потрудиться над их изучением и изготовлением, то наверняка они доставят радость и удовольствие, а возможно принесут и удачу.

3.2 Развёртки правильных многогранников

Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием так называемых развёрток.

Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.

3.3 Способ «плетения»

Кроме изготовления многогранников с помощью развёрток есть ещё один способ, при котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги. Без применения клея модель приобретает жёсткую структуру после того, как будет заправлен последний кусочек бумаги.

Для того чтобы сплести тетраэдр, нужно:

Плетём куб:

Если полоски разного цвета, то у получившегося куба противоположные грани одинакового цвета. Этот способ интересен тем, что любые две полоски не зацеплены одна с другой, а все три зацеплены.

Возможно, при виде моделей многогранников кто-нибудь спросит: «Какая от них польза?» На это можно ответить так: «А разве всё красивое полезно?»

3.4 Ещё один способ изготовления многогранников

Для изготовления моделей многогранников можно воспользоваться рекомендациями, данными в книге М. Винниджера «Модели многогранников». «Автор этой книги, заражая своим энтузиазмом читателя, даёт ему ясные и четкие указания о том, как изготовить модели различных многогранников. Объяснения проиллюстрированы фотографиями моделей из собрания автора – возможно, наиболее полного в настоящее время. Но фотографии не в состоянии передать всего великолепия самих моделей. Наиболее сложные «курносые» модели не только крайне трудны в изготовлении, но и весьма декоративны. Это ли не превосходный пример родства истины и красоты!» – отмечает в предисловии к книге Г.С.М. Кокстер.

М. Винниджер отмечает: «Время, которое я затратил на изготовление моделей невыпуклых однородных многогранников, в существенной степени зависело от характера модели. Так, на простейшие из них требовалось не более трех-четырех часов, а в среднем же приходилось затрачивать восемьдесят часов, а некоторые сложные модели занимали двадцать-тридцать часов. Две модели отняли у меня свыше сотни часов каждая. Теперь, когда работа завершена, я, пожалуй, соглашусь с тем, что ее объем поразил и меня. Но китайская пословица гласит: «Если ты собираешься пройти тысячу ли, начни с того, что сделай первый шаг». За первым шагом последует другой, и вскоре красота открывшихся взору путника видов заставит его забыть о трудностях пути».

Прежде чем приступить к изготовлению многогранников ниже приведённым способом, необходимо познакомиться с общими рекомендациями. (Приложение 4).

3.4.1 Тетраэдр

Все четыре грани тетраэдра – равносторонние треугольники. Четыре – это наименьшее число граней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее, тетраэдр обладает многими свойствами, характерными для однородных многогранников. Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отделяется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетраэдра также равны между собой. Если нужно сделать модель тетраэдра разноцветной, следует приготовить развертки для каждого типа грани в виде отдельного многоугольника. Для этого понадобится всего один трафарет в виде равностороннего треугольника.

Необходимо сделать четыре заготовки разного цвета – например, Ж, С, О и К. При этом нужно оставить наклейки с каждой стороны, как показано на рисунке. Теперь склеиваем все четыре заготовки вместе, затем соединяем несклеенные боковые грани и склеиваем вначале только две из них между собой. Затем накладываем клей на оставшиеся наклейки и приклеиваем последнюю грань, как бы закрывая коробку.

Октаэдр

Так как его противоположные грани октаэдра лежат в параллельных плоскостях, то можно превосходно обойтись всего четырьмя красками. Модель этого многогранника мы начинаем делать, склеивая четыре треугольника. После того как склеим между собой грани 1 и 4, то в наших руках окажется правильная четырехугольная пирамида без квадратного основания. Эта часть составляет ровно половину модели.

Вторая половина энантиоморфна первой. Тем не менее, проще продолжить работу в такой последовательности: сначала приклеить наклейки четырех оставшихся треугольников к соответствующим наклейкам на сторонах квадратного основания. Нужно проследить, чтобы противоположные грани октаэдра имели один и тот же цвет. Затем последовательно склеить наклейки соседних граней, снова закрывая модель последним треугольником, как крышкой. Теперь можно заметить, что квадрат, только что послуживший основанием первой половины модели, на самом деле всего лишь один из трёх квадратов такого рода, которые можно видеть на полной модели. При этом ребра квадратов лежат в трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.

3.4.3 Гексаэдр (куб)

Несомненно, куб, или, как его иногда называют математики,гексаэдр – самый общеизвестный и широко используемый многогранник. Все шесть его граней – квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине. Можно начать постройку модели куба, выбрав один квадрат и присоединив к нему четыре других, как показано на рисунке. Затем нужно склеить наклейки соседних боковых граней, причём склеенные попарно наклейки вновь образуют как бы жесткий скелет многогранника. Остается добавить последнюю грань, и это действие уже с полным правом можно будет уподобить закрыванию ящика крышкой.

Возможно, что в своей простоте куб не самый привлекательный многогранник. Но он обладает несколькими удивительными свойствами в отношении других Платоновых и некоторых архимедовых тел. А объединение пяти кубов можно поместить в додекаэдр, и при этом получается очень красивая модель.

Икосаэдр

Икосаэдр – одно из пяти платоновых тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединяет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние треугольники. При изготовлении модели икосаэдра можно выбрать любую из двух эффектных возможностей распределения пяти цветов. Во-первых, икосаэдр может быть раскрашен так, что у каждой вершины встретятся все пять цветов (правда, в таком случае противоположные грани не будут окрашены одинаково). Другой способ обеспечивает противоположным граням одинаковые цвета, зато у каждой вершины, за исключением двух полярных, будет повторяться по кругу один цвет. Обе раскраски очень интересны. Обе модели можно строить, исходя из одного и того же начального расположения пяти равносторонних треугольников. Они образуют невысокую пятиугольную пирамиду без основания. К сторонам её основания нужно приклеить следующие пять треугольников, руководствуясь той или иной таблицей раскраски. Между ними приклеивается по одному треугольнику – это сделать несложно, если обратить внимание на то, что в каждой вершине сходятся пять граней. Завершая модель, приклеивают последние пять треугольников. Чтобы облегчить пользование таблицами раскраски, нужно запомнить: первая строка любой таблицы задает раскраску пяти треугольников, окружающих «северную полярную» вершину икосаэдра. Последующие две строки указывают раскраску «экваториального» кольца из десяти чередующихся равносторонних треугольников. Наконец, четвертая строка показывает раскраску граней у, «южного полюса» икосаэдра.

Интересен порядок раскраски не только вблизи «полюсов», но и у других десяти вершин, то по этим таблицам его тоже легко найти. Надо совершить круговой обход по таблице по следующему правилу: начиная с двух соседних цветов в крайней строке, опуститься (или подняться) на следующую строку, затем еще на одну и после этого вернуться на исходные. Например:

Это наводит на мысль о том, что таблицы раскраски можно задавать совершенно по-иному – нумеруя вершины и выписывая порядок чередования цветов у каждой из них. Правда, это приведёт к тому, что каждая треугольная грань икосаэдра будет поименована в такой таблице трижды, но все же таблицы удобны: с их помощью легче последовательно «обклеивать» вершину. Для икосаэдра таблицы этого типа выглядят так:

Здесь указаны раскраски только шести вершин, причем вершина (0) – снова «северный полюс» икосаэдра. Для обеих моделей вершины, противоположные этим, имеют энантиоморфную раскраску. Её можно получить, читая соответствующую строку в обратном порядке, то есть справа налево.

Додекаэдр

В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди Платоновых тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит). Пожалуй, пальму первенства додекаэдр получает за свои три звездчатые формы, описываемые ниже.

Модель этого многогранника можно сделать четырёхцветной двумя способами; если же воспользоваться для раскраски шестью цветами, то противоположные грани легко сделать одноцветными. Такую раскраску хорошо перенести на упомянутые выше звездчатые формы додекаэдра. Приводим описание.

Построение модели начинается с приклеивания пяти разноцветных пятиугольников – скажем, Ж, С, О, К, 3 – к одному центральному пятиугольнику, например белого цвета (Б). После этого следует склеить цветные пятиугольники между собой – и половина дела сделана. Остаётся подклеить остальные грани додекаэдра к уже сделанной половине таким образом, чтобы противоположные грани были одноцветными.

На рисунке показана четырехцветная раскраска додекаэдра. Можно воспользоваться и энантиоморфным порядком цветов. Иногда удобнее обращаться именно к такой раскраске – особенно для моделей, имеющих симметрию додекаэдра.

Заключение

Миром красоты и гармонии мы называем правильные многогранники. Ведь на протяжении всей истории человечества эти многогранники восхищали симметрией и совершенством форм. Изображения пяти правильных многогранников – «Тела Платона», 13 полуправильных выпуклых многогранников – «Тела Архимеда» и 4-х невыпуклых многогранников – «Тела Пуансо – Кеплера» приводят пытливые умы к размышлению о красоте истин.

Подводя итоги своей работы, я могу сделать вывод: существует 5 правильных выпуклых многогранников: тетраэдр (четырёхгранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник) – Платоновы тела, 4 звездчатых правильных многогранника – тела Кеплера – Пуансо, 13 полуправильных многогранников – тела Архимеда. В работе описаны их свойства, даны развёртки для их изготовления, показано, где они встречаются в природе.

Выполняя работу, я научилась изучать литературу по названной теме, делать анализ прочитанного, выбирать нужный материал, искать ответы на возникающие вопросы, делать выводы.

При работе над рефератом «В мире правильных многогранников» я прикоснулась к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнала имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедилась, что истоки математики – в природе, окружающей нас.

В ходе данного исследования был проведён анализ определений правильных многогранников, установлены условия существования правильных многогранников, выявлены свойства правильных многогранников, сделано описание технологии их построения.

Литература

1. Александров А.Д. , Вернер А.Л. , Рыжин В.И. Начало стереометрии. – М.: Просвещение, 1981.

2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2001.

3. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия. Учебник для 7 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1992.

4. Веннинджер М. Модели многогранников. – М.: Мир, 1974.

5. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука,1972.

6. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.

7. Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия 9 – 10 класс. – М.: Просвещение, 1983.

8. Погорелов А. В. Геометрия. Учебник для 7- 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1990.

9. Савин А. П., Станцо В. В., Котова А. Ю. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М.: АСТ, 1999.

10. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.

11. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. 5 – 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1999.

12. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета. №24, 2004.с. 15-32.

Приложение 1

ПЛАТОН (428 или 427 до н. э. - 348 или 347), древнегреческий философ. Ученик Сократа, ок. 387 основал в Афинах школу. Идеи (высшая среди них - идея блага) - вечные и неизменные умопостигаемые прообразы вещей, всего преходящего и изменчивого бытия; вещи - подобие и отражение идей. Познание есть анамнесис - воспоминание души об идеях, которые она созерцала до ее соединения с телом. Любовь к идее (Эрос) - побудительная причина духовного восхождения. Идеальное государство - иерархия трех сословий: правители-мудрецы, воины и чиновники, крестьяне и ремесленники. Платон интенсивно разрабатывал диалектику и наметил развитую неоплатонизмом схему основных ступеней бытия. В истории философии восприятие Платона менялось: «божественный учитель» (античность); предтеча христианского мировоззрения (средние века); философ идеальной любви и политический утопист (эпоха Возрождения). Сочинения Платона - высокохудожественные диалоги; важнейшие из них: «Апология Сократа», «Федон», «Пир», «Федр» (учение об идеях), «Государство», «Теэтет» (теория познания), «Парменид» и «Софист» (диалектика категорий), «Тимей» (натурфилософия).

ПЛАТОН (427-347 или 348 до н. э.), древнегреческий мыслитель, наряду с Пифагором, Парменидом и Сократом - родоначальник европейской философии; глава философской школы Академия.

Жизнь

Происходил из аристократической семьи, принимавшей активное участие в политической жизни Афин (род его отца Аристона, по преданию, восходил к мифическому царю Кодру; среди предков матери, Периктионы, - законодатель Солон; после победы спартанцев в Пелопоннесской войне дядя Платона, Хармид, - один из Десяти ставленников Лисандра в Пирее в 404-403, Критий - один из Тридцати тиранов в Афинах).

Получил традиционное для аристократического юноши хорошее воспитание (физическое и мусическое). В юности слушал софиста гераклитовской ориентации Кратила, в 20 лет познакомился с Сократом, начал регулярно посещать его беседы и отказался от реальной политической карьеры. Отличался крайней застенчивостью и замкнутостью.

Платон. Из «Апологии Сократа»

После смерти Сократа (399) Платон уезжает в Мегары. Принимает участие в Коринфской войне, в походах в Танагру (395) и Коринф (394). В 387 посещает Южную Италию, Локры Эпизефирские - родину древнейших записанных законов Залевка (из Локр происходит пифагореец Тимей, именем которого назван знаменитый диалог Платона, путешествие вообще задумывалось прежде всего ради знакомства с пифагорейцами). В Сицилии (Сиракуза), он знакомится с Дионом, приближенным правителя Сиракуз Дионисия I Старшего. По возвращении из Сицилии (387) основал в Афинах свою философскую школу - в гимнасии Академия. Знакомство с Дионом, попавшим под обаяние личности Платона и его образа мыслей, способствовало тому, что в 367-366 и 361 Платон совершил еще две поездки в Сицилию.

Школа Платона

Использование общественных гимнасиев для занятий науками и ораторским искусством было обычным для Афин 5-4 вв.; «школа Платона», вероятно, формировалась постепенно, по названию гимнасия она также стала именоваться Академией. Среди принадлежавших к платоновскому кружку - его племянник Спевсипп, ставший во главе Академии после смерти Платона, Ксенократ, третий схоларх Академии, знаменитый математик и астроном Евдокс Книдский, остававшийся во главе школы во время второй поездки Платона в Сицилию. В 366 в Академии появляется Аристотель и остается там вплоть до смерти Платона.

Сочинения

До нас дошло издание сочинений Платона, предпринятое пифагорейцем Трасиллом Александрийским, придворным астрологом императора Тиберия (ум. 37), разбитое на тетралогии:

«Евтифрон», «Апология», «Критон», «Федон».

«Кратил», «Теэтет», «Софист», «Политик».

«Парменид», «Филеб», «Пир», «Федр».

«Алкивиад I», «Алкивиад II», «Гиппарх», «Соперники».

«Феаг», «Хармид», «Лахет», «Лисид».

«Евтидем», «Протагор», «Горгий», «Менон».

«Гиппий Больший», «Гиппий Меньший», «Ион», «Менексен».

«Клитофонт», «Государство», «Тимей», «Критий».

«Минос», «Законы», «Послезаконие», «Письма».

Помимо этого под именем Платона дошел ряд других диалогов.

Начиная с конца 17 в., корпус текстов Платона, подвергался тщательному критическому рассмотрению с точки зрения их подлинности и хронологии.

Похожая информация.

Здесь уже публиковались модели многогранников (http://master.forblabla.com/blog/45755567715/Mnogogranniki), но хочется добавить свои. Ссылка та же, на wenninger.narod.ru. У меня сначала появилась книга, потом, когда подключился к интернету, написал даже письмо автору и получил ответ, потом книга с письмом потерялись, но нашёл сайт и продолжил делать модели.

Если интересно, могу каждый сфотографировать отдельно.

Александр

Ну что ж, по просьбе трудящихся выкладываю фото всех многогранников. Названия я особо не помню, я их классифицирую по многогранному углу. В книге (Веннинджер. Модели многогранников) собраны как многогранники, так и их звёзчатые формы. Платоновы тела это 5 выпуклых правильных многогранников. У них грани одного типа (правильные треугольники, квадраты и пятиугольники) и все многогранные углы одинаковы. Архимед добавил ещё 13 выпуклых полуправильных многогранников (грани - разные многоугольники, но все углы по-прежнему одинаковы). А вот если брать не выпуклые многоугольники (в книге используются треугольники, квадраты, пятиугольники, восьмиугольники и десятиугольники), а их звёздчаные формы (пятиугольная, восьмиугольная и десятиугольная звезды), то получается масса новых многогранников. К тому же, грани могут соединяться также в виде звёзд, поэтому невыпуклые многогранники могут состоять, как из звёздчатых многоугольников, так и из выпуклых.

Наконец, аналогично тому, что продолжение линий превращает выпуклый многоугольник в звёздчатый, так и продолжение граней образует звёздчатые формы. Правда, известно только 4 правильных многогранников такого типа (все три звёздчатые формы додекаэдра и одна звёздчатая форма икосаэдра), у других либо грани - неправильные многоугольники, либо многогранник распадается на несколько отдельных многогранников.

Особую красоту дают формы, у которых грани видны с двух сторон, а также содержащие дыры, плюс те, части которых только касаются друг друга вершинами.

Конечно, у многогранников есть своя математика, но об этом потом.

Фото сопровождаются моделями многогранных углов. Это основание пирамиды, которая получится, если от вершины многогранника отрезать кусочек, как от торта. 3, 4, 5, 6, 8 и 10 обозначают выпуклые многоугольники, 5/2, 8/3 и 10/3 - пятиугольную, восьмиугольную и десятиугольную звезду (последовательность вершин делает соответственно 2, 3 и 3 оборота вокруг центра).

Поехали. Сначала треугольники. (в скобках - номера моделей из книги).

Бесконечное семейство призм.

Треугольная призма.

Черырёхугольная призма, гексаэдр, куб (3).

Пятиугольная призма и её звёздчатая форма.

Шестиугольная призма.

Тетраэдр (1).

Додекаэдр (5) и три его звёздчатые формы, которые являются правильными многогранниками: малый звёздчатый додекаэдр (20), большой додекаэдр (21) и большой звёздчатый додекаэдр (22):

Усечённый тетраэдр (6).

Усечённый октаэдр (7).

Усечённый гексаэдр (куб) (8).

Усечённый икосаэдр (9). Раньше так шили футбольные мячи.

Усечённый додекаэдр (10).

Ромбоусечённый кубооктаэдр (15).

Ромбоусечённый икосододекаэдр (16).

Квазиусечённый гексаэдр (92).

Квазиусечённый кубооктаэдр (93).

Большой квазиусечённый икосододекаэдр (был. Увы, изнутри был непрочным и однажды сломался). (108)

Переходим к многогранникам, у которых в угле сходится 4 грани.

Сначала вершинная фигура в виде квадрата.

Бесконечное семейство антипризм.

Треугольная антипризма, октаэдр (2), и его звёздчатая форма - звёздчатый октаэдр (19).

Квадратная антипризма и её две звёздчатые формы.

Кубооктаэдр (11) и его звёздчатые формы (43 - 46).

Икосододекаэдр (12) и его звёздчатые формы (47, 63, 64), а в книге их очень много.

Ромбокубооктаэдр (13) и его звёздчатая форма.

А вот этот многогранник (псевдоромбокубооктаэдр) наделал много шума, т.к. его опубликовали только спустя 2000 лет после Архимеда (на рубеже 50-60 г.г. 20-го века). На самом деле, у него есть дефект: когда я говорил, что у полуправильных многогранников углы (вершинная модель) одинаковые, то можно заметить, что порядок обхода граней у соседних вершин всегда зеркальный, например, если у одной вершины грани идут в порядке 3-4-4-4 по часовой стрелке, то у соседней вершины тот же порядок, но против часовой стрелки. Так вот, у псевдоромбокубооктаэдра встречаются пары вершин, у которых нет зеркальной симметрии.