Экспоненциальное (показательное) распределение. Экспоненциальный закон распределения Экспоненциальное распределение случайной величины примеры
Экспоненциальный закон распределения называемый также основным законом надежности, часто используют для прогнозирования надежности в период нормальной эксплуатации изделий, когда постепенные отказы еще не проявились и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность. Экспоненциальное распределение находит довольно широкое применение в теории массового обслуживания, описывает распределение наработки на отказ сложных изделий, время безотказной работы элементов радиоэлектронной аппаратуры.
Приведем примеры неблагоприятного сочетания условий работы деталей машин, вызывающих их внезапный отказ. Для зубчатой передачи это может быть действием максимальной нагрузки на наиболее слабый зуб при его зацеплении; для элементов радиоэлектронной аппаратуры - превышение допустимого тока или температурного режима.
Плотность распределения экспоненциального закона (рис. 1) описывается соотношением
f (x ) = λe −λ x ; (3)
функция распределения этого закона - соотношением
F (x ) = 1− e −λ x ; (4)
функция надежности
P (x ) = 1− F (x ) = e −λ x ; (5)
математическое ожидание случайной величины Х
дисперсия случайной величины Х
(7)
Экспоненциальный закон в теории надежности нашел широкое применение, так как он прост для практического использования. Почти все задачи, решаемые в теории надежности, при использовании экспоненциального закона оказываются намного проще, чем при использовании других законов распределения. Основная причина такого упрощения состоит в том, что при экспоненциальном законе вероятность безотказной работы зависит только от длительности интервала и не зависит от времени предшествующей работы.
Риc. 1. График плотности экспоненциального распределения
Пример 2. По данным эксплуатации генератора установлено, что наработка на отказ подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ=2*10 -5 ч -1 . Найти вероятность безотказной работы за время t =100 ч. Определить математическое ожидание наработки на отказ.
Р е ш е н и е. Для определения вероятности безотказной работы воспользуемся формулой (5), в соответствии с которой
Математическое ожидание наработки на отказ равно
Показательным называют распределение непрерывной случайной величины Х которое описывается следующей дифференциальной функцией
Экспоненциальное распределение для непрерывных случайных величин является аналогом распределения Пуассона для дискретных случайных величин и имеет следующий вид.
вероятность попадания случайной величины Х на интервал (α;β)
Следует отметить, что время безотказной работы удовлетворяется именно показательному закону, а поэтому это понятие часто используется в понятии надежности.
Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
Нормальным называется распределение случайной величины Х если ф-ция плотности распределения
Полученное выражение через элементарные функции не может быть выражено, такая функция так называемый интеграл вероятности для которой составлены таблицы, чаще всего в качестве такой функции используют
Часто по условию задачи необходимо определить вероятность попадания случайной величины Х на участок симметричный математическому ожиданию.
Правило трех сигм это правило часто используется для подтверждения или отбрасывания гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
Мат. статистика
Выборочная сумма:
.
Выборочное среднее:
.
Выборочная дисперсия:
, где т i
– частота.
Выборочное СКО:
.
Эмпирическая функция распределения:
F * (x)=P(X
F * (x)= 
.
Точечные оценки:
Несмещенная оценка генеральной средней (мат.ожидания ):
, х i
– варианта выборки, m i
– частота варианты х i
, 
- объем выборки.
Смещенная оценка генеральной дисперсии – выборочная дисперсия:
, так как
.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит «исправленная дисперсия»:
. При п<30.
Коэффициент вариации:
.
Центральный момент к -го порядка:
.
Начальный момент к -го порядка:
.
Ассиметрия
: 
, т 3 = 
Эксцесс
: 
, где т 4 = 
Групповая средняя
: 
.
Общая средняя:
, где 
.
Общая дисперсия:
.
Интервальные оценки:
Доверительный интервал для мат.ожидания а нормально распределенного количества признака Х :
.
Критерий согласия Пирсона:
Если число наблюдений очень велико, то закон распределения СВ не зависит от того, какому закону подчинена генеральная совокупность. Он приближается к распределению с к степенями свободы, а сам критерий называется критерием согласия Пирсона:
, где к
– количество интервалов сгруппированного ряда, т i >0,05n
.
Количество степеней свободы : r=k-p-1 , где к – количество интервалов, р – количество параметров закона.
Уровень значимости α :
α=0,05 и α=0,01.
Если 
, то Н 0
принимается
, т.е. предполагаемый закон распределения отвечает эмпирическим данным. При этом мы ошибаемся в 5-ти случаях из 100, принимая возможно ошибочную гипотезу (ошибка 2-го рода).
Если 
, то Н 0
отвергается
, т.е. предполагаемый закон не отвечает эмпирическим данным. При этом мы ошибаемся в 1-ом случае из 100, отбрасывая правильную гипотезу (ошибка 1-го рода).
Если 
, то имеем неопределенность
и можно использовать др. критерии.
Корреляция
- сумма частот в i
-ом столбце;
- сумма частот в к
-ой строке;
- число пар (х i ; y k)
.
Условное среднее
: 
.
Теоретические уравнения линий регрессии :
.
Расчет числовых характеристик:
Показатель тесноты корреляционной связи – эмпирическое корреляционное отношение:
, где 
.
.
Свойства:
1. 0≤η≤1 .
2. если η =1, то у(х) – связь функциональная.
3. η =0, то связи нет.
4. η≥ .
5. если η = , то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.
6. чем ближе η к 0, тем корреляционная связь слабее, чем ближе к 1, тем корреляционная связь сильнее и в пределе она превращается в функциональную зависимость.
Коэффициент корреляции:
.
Проверка значимости параметров корреляционной зависимости:
1. Проверка существенности линейной корреляционной связи (значимости регрессии) .
При больших объемах выборки коэф.корреляции подчиняется нормальному закону. При этом 
.
2. Проверка значимости регрессии :
.
Если τ р >2,58, то с уверенностью 99% можно утверждать, что корреляционная зависимость существенна (регрессия значима). Т.е. корреляционная связь существует не только в выборке, но и во всей генеральной совокупности.
τ р <1,96, то с уверенностью 95% можно утверждать, что корреляционная зависимость не явл. существенной, т.е. она характерна только для данной выборки и может не существовать в генеральной совокупности.
1,96<τ р < 2,58 – несущественная корреляционная зависимость.
3. Проверка линейности выбранной модели (проверка адекватности):
.
Р=99% (α=0,01): t=2,58
Р=95% (α=0,05): t=1,96
Если величина η у/х удовлетворяет этому неравенству, то выбранная модель адекватна, она соответствует эмпирическим данным.
Критерий Фишера:
, п
– число наблюдений, к
– число интервалов по Х.
При уровнях значимости:
α=0,05 и α=0,01: F 0,05 (k-1;n-1); F 0,01 (k-1;n-k).
Если F y / x Проверка значимости регрессии:
Если F R >F 0,01 , то регрессия значима, если F R Адекватность модели по Фишеру:
F 0,01 (k-2;n-k), F 0,05 (k-2;n-k). Если F A >F 0,01 , то модель неадекватна, если F A Критерий Романовского:
Критерий согласованности Калмагорова:
к
– количество интервалов. По таблице находим соответствующее значение вероятности Р(λ). Если Р(λ)<0,05, то расхождение между распределениями существенно, оно не может быть вызвано случайными причинами. Чем ближе эта вероятность к 1, тем лучше теоретическое распределение согласовывается с эмпирическим. Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной
случайной величины
Х являются: Дадим понятие равномерного и показательного законов распределения, формулы вероятности
и числовые характеристики рассматриваемых функций. Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 мин. Найти: а) вероятность того, что
пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того,
что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира. Решение.
1. По условию задачи непрерывная случайная величина
X={время ожидания пассажира} равномерно распределена
между приходами
двух автобусов. Длина интервала распределения случайной величины Х равна b-a=7, где a=0, b=7. 2. Время ожидания будет менее двух минут, если случайная величина X попадает в интервал (5;7).
Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле:
Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
. 3. Время ожидания будет не менее трех минут (т.е. от трех до семи мин.), если случайная величина Х попадает в
интервал (0;4). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле:
Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
. 4. Математическое ожидание непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени
ожидания пассажира, найдем по формуле: М(Х)=(a+b)/2
. М(Х) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5. 5. Среднее квадратическое отклонение непрерывной, равномерно распределенной случайной величины
X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: σ(X)=√D=(b-a)/2√3
. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02. Показательное распределение задано при x ≥ 0 плотностью f(x) = 5e – 5x. Требуется: а) записать выражение для
функции распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в
интервал (1;4); в) найти вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 ; г) вычислить
M(X), D(X), σ(X). Решение.
1. Поскольку по условию задано показательное
распределение
, то из формулы плотности распределения вероятностей случайной величины X
получаем λ = 5. Тогда функция распределения будет иметь вид: 2. Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4) будем находить
по формуле: 3. Вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 будем находить по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞. 4. Находим для показательного распределения: Определение.
Показательным (экспоненциальным)
называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью где l - положительное число. Найдем закон распределения.
Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению.
Результат получен с использованием того факта, что
Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х 2).
Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:
Тогда
Итого: Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны.
Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.
Показательное распределение широко используется в теории надежности
. Допустим
, некоторое устройство начинает работать в момент времени t 0 =0
, а через какое - то время t
происходит отказ устройства. Обозначим Т
непрерывную случайную величину - длительность безотказной работы устройства. Таким
образом
, функция распределения F(t) = P(T Вероятность
противоположного
события
(безотказная работа в течение времени t
) равна R(t) = P(T>t) = 1 - F(t).
Определение.
Функцией надежности
R(t)
называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t
. Часто
на
практике
длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению. Вообще
говоря
, если
рассматривать новое устройство, то вероятность отказа в начале его функционирования будет больше, затем количество отказов снизится и будет некоторое время иметь практически одно и то же значение. Затем (когда устройство выработает свой ресурс) количество отказов будет возрастать. Другими
словами
, можно сказать, что функционирование устройства на протяжении всего существования (в смысле количества отказов) можно описать комбинацией двух показательных законов (в начале и конце функционирования) и равномерного закона распределения. Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна:
Данное соотношение называют
показательным законом надежности
. Важным свойством
, позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t
не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t
. Таким
образом
, безотказная работа устройства зависит только от интенсивности отказов l и не зависит от безотказной работы устройства в прошлом. Так как подобным свойством обладает
только показательный закон распределения, то этот факт позволяет определить, является ли закон распределения случайной величины показательным или нет. Пусть X i (i=1,2,…,n)
- нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение - единице. Тогда сумма квадратов этих величин распределена по закону («Хи-квадрат») с k=n степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы k=n-1. Плотность этого распределения Отсюда
видно
, что распределение «Хи-квадрат» определяется одним параметром - числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному. 2.9 Распределение Стьюдента Пусть Z -нормальная случайная величина, причем M(Z)=0, s(Z)=1, а V- независимая от Z величина, которая распределена по закону с k степенями свободы. Тогда величина имеет распределение, которое называют t- распределением или распределением Стьюдента, k степенями свободы. Итак отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «Хи-квадрат» с k степенями свободы
, деленной на k, деленной на k распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы. . С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному. Определение.
Нормальным
называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса .
Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения. Можно
легко
показать
, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х. Найдем функцию распределения F(x)
. График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса .
1
) Функция определена на всей числовой оси. 2
) При всех х
функция распределения принимает только положительные значения. 3
) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х
, значение функции стремится к нулю. 4
) Найдем экстремум функции. Т.к. при y’ > 0
при x < m
и y’ < 0
при x > m
, то в точке х = т
функция имеет максимум, равный . 5
) Функция является симметричной относительно прямой х = а
, т.к. разность (х - а
) входит в функцию плотности распределения в квадрате. 6
) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности. При x = m
+ s и x = m
- s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб. где λ
– постоянная положительная величина.
Из выражения (3.1), следует, чтопоказательное распределение определяется одним параметром λ.
Эта особенность показательного распределения
указывает на его преимущество по сравнению с распределениями
, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны
и приходится находить их оценки (приближенные значения) разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д
. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону
, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.
Найдем функцию распределения показательного закона
. Итак
Графики плотности и функции распределения показательного закона изображены на рис. 3.1.
Учитывая, что
получим:
Значения функции можно находить по таблице. Числовые характеристики показательного распределения
Пусть непрерывная случайная величина
Χ
распределена по показательному закону
Найдем математическое ожидание
, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:
Следовательно:
Найдем среднее квадратическое отклонение
, для чего извлечем квадратный корень из дисперсии:
Сравнивая (3.4), (3.5) и (3.6), видно, что
т. е.
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.
Показательное распределение широко применяетсяв различных приложениях финансовых и технических задач, например, в теории надежности.
4. Распределение «хи-квадрат» и распределение Стьюдента.
4.1 Распределение «хи-квадрат» (- распределение)
Пусть Χ i (ί = 1, 2, ..., n)-нормальные независимые случайные величины
, причем математическое ожиданиекаждой из нихравно нулю
, а среднее квадратическое отклонение
- единице
. Тогдасумма квадратов этих величин
распределена по закону
с
степенями свободы
, если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы Распределение хи-квадрат нашло широкое применение в математической статистике.
Плотность этого распределения
где - гамма-функция, в частности . Отсюда видно, чтораспределение хи-квадрат определяется одним параметром
- числом степеней свободы
k.
С увеличением числа степеней свободыраспределение хи-квадрат медленно приближается к нормальному.
Хи-квадрат распределение получается, если в законе распределения Эрланга принять
λ
= ½
и k = n
/2 – 1. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение,
определяются простыми формулами, которые приведем без вывода: Из формулы следует, что при
хи-квадрат распределение совпадает с экспоненциальным распределением при
λ
= ½ .
Интегральная функция распределения при хи-квадрат распределенииопределяетсячерез специальные неполные табулированные гамма-функции
Рис.4.1. а
)Графики плотности вероятности при хи-квадрат распределении Рис.4.1. б)Графики функции распределения при хи-квадрат распределении 4.2 Распределение Стьюдента
Пусть Z – нормальная случайная величина, причём
а V
– независимая от Z величина, которая распределена по закону хи-квадрат с
k
степенями свободы.Тогда
величина:
имеет распределение, которое называют
t
-распределением или распределением Стьюдента
(псевдоним английского статистика В. Госсета), с
k
=
n -
1 степенями свободы (n
- объём статистической выборки при решении задач статистки).
Итак
, отношение нормированной нормальной величинык квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «хи квадрат» с k
степенями свободы
, деленной на k,
распределено по закону Стьюдента с k
степенями свободы.
Плотность распределения Стьюдента:
, по табл. F 0,01 (1;n-2), F 0,05 (1;n-2).
.
, где r
– число ступеней свободы. Если ρ<3
, то расхождение между теоретическими и эмпирическими распределениями нужно считать незначительными.
- наибольшая по абсолютной величине разность между накопленными частотами эмпирического и теоретического распределения.Показатель
Раномерный закон распределения
Показательный закон распределения
Определение
Равномерным называется
распределение
вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого сохраняет постоянное
значение на отрезке и имеет вид
Показательным (экспоненциальным) называется
распределение
вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью, имеющей вид
где λ – постоянная положительная величина
Функция распределения
Вероятность
попадания в интервал
Математическое ожидание
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Примеры решения задач по теме «Равномерный и показательный
законы распределения»
Задача 1.
Р(5 < Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
Р(0 < Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.Задача 2.
P(a < X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1 < X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
Графики функции распределения и плотности распределения:
f(x) F(x)
2.8 Распределение «Хи-квадрат»
где 
-Гамма-функция; в частности,2.9 Нормальный закон распределения
Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
